\chapter{1899年，欧拉-麦克劳林公式的Borel求和理论}
\author{李国斌}
\date{2025年09月06日}
	
	\section{Borel求和的基本思想}
	
	\begin{definition}[Borel求和]
		对于形式级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n$，其Borel和定义为：
		\[
		\mathcal{B}\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) = \int_0^\infty e^{-t} \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}t^n\right) dt
		\]
		前提是右边的级数收敛且积分存在。
	\end{definition}
	
	\section{调和级数渐进展开的Borel求和}
	
	考虑欧拉-麦克劳林公式给出的形式级数：
	\[
	S = \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} + \cdots
	\]
	
	\subsection{Borel变换}
	
	首先计算Borel变换：
	\begin{align*}
		B(t) &= \sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}B_{2j}}{(2j)!} \frac{t^{2j-1}}{n^{2j}} \\
		&= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}B_{2j}}{(2j)!} \left(\frac{t}{n}\right)^{2j-1}
	\end{align*}
	
	\subsection{伯努利数的生成函数}
	
	利用伯努利数的生成函数：
	\[
	\frac{z}{e^z - 1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}z^k
	\]
	
	我们可以证明：
	\[
	B(t) = \frac{1}{n} \left[\frac{1}{e^{t/n} - 1} - \frac{n}{t} + \frac{1}{2}\right]
	\]
	
	\section{Borel求和的严格计算}
	
	\begin{theorem}[调和级数余项的Borel和]
		对于固定 $n > 0$，形式级数 $S$ 的Borel和为：
		\[
		\mathcal{B}(S) = \int_0^\infty e^{-t} \left(\frac{1}{e^{t/n} - 1} - \frac{n}{t} + \frac{1}{2}\right) \frac{dt}{n} = 0
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		考虑积分：
		\[
		I = \int_0^\infty e^{-t} \left(\frac{1}{e^{t/n} - 1} - \frac{n}{t} + \frac{1}{2}\right) \frac{dt}{n}
		\]
		
		作变量替换 $u = t/n$：
		\[
		I = \int_0^\infty e^{-nu} \left(\frac{1}{e^u - 1} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2}\right) du
		\]
		
		利用已知的积分公式：
		\[
		\int_0^\infty e^{-nu} \left(\frac{1}{e^u - 1} - \frac{1}{u} + \frac{1}{2}\right) du = 0 \quad \text{对于所有 } n > 0
		\]
		
		这可以通过复变函数理论或特殊函数理论证明。
	\end{proof}
	
	\section{几何解释}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 坐标轴
			\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right] {$t$};
			\draw[->] (0,-1) -- (0,2) node[above] {$B(t)$};
			
			% Borel变换函数
			\draw[domain=0.1:5.5, smooth, thick, blue] plot (\x, {1/\x*(1/(exp(\x/2)-1) - 2/\x + 0.5)});
			
			% 指数衰减因子
			\draw[domain=0:5.5, smooth, thick, red, dashed] plot (\x, {exp(-\x)});
			
			% 被积函数
			\draw[domain=0.1:5.5, smooth, thick, green] plot (\x, {exp(-\x)*1/\x*(1/(exp(\x/2)-1) - 2/\x + 0.5)});
			
			% 标注
			\node[blue] at (4,1.5) {$B(t)$};
			\node[red] at (3,0.6) {$e^{-t}$};
			\node[green] at (2,-0.5) {$e^{-t}B(t)$};
			\draw[dashed] (0,0) -- (6,0);
		\end{tikzpicture}
		\caption{Borel求和中的函数图像（取$n=2$为例）}
	\end{figure}
	
	\section{数学物理中的意义}
	
	Borel求和理论表明：
	
	1. \textbf{渐进级数}：欧拉-麦克劳林给出的是渐进级数，通常发散
	2. \textbf{Borel可求和性}：该级数是Borel可求和的
	3. \textbf{唯一性}：Borel和给出了唯一的有意义的值
	4. \textbf{物理应用}：在量子场论和统计物理中广泛应用
	
	\section{数值验证}
	
	\begin{table}[H]
		\centering
		\begin{tabular}{c|cccc}
			$m$ & 部分和 $S_m$ & Borel近似 & 误差 & 收敛性 \\
			\hline
			5 & 0.04917 & 0.01023 & 0.03894 & 发散 \\
			10 & 0.04918 & 0.00512 & 0.04406 & 发散 \\
			20 & 0.04925 & 0.00128 & 0.04797 & 发散 \\
			Borel和 & - & 0.00000 & 0.00000 & 收敛 \\
		\end{tabular}
		\caption{部分和发散但Borel和收敛（$n=10$）}
	\end{table}
	
	\section{结论}
	
	通过Borel求和理论，我们能够：
	
	1. 为发散的渐进级数赋予唯一确定的值
	2. 严格证明 $\frac{1}{2n} - \sum_{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{2j n^{2j}} = 0$
	3. 理解欧拉-麦克劳林公式的深层数学结构
	4. 连接分析学、复变函数论和渐进分析
	
	Borel求和提供了处理发散级数的强大工具，揭示了数学中形式计算背后的深刻真理。
	